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メビウスの帯と宇宙の構造

 前回、「その粒子はボソンですか?フェルミオンですか?」について、標準理論の「ヒッグス粒子」は、スピン0の粒子として登場しますが、新粒子のスピンは確定できません.
はっきりしたことは、整数から1/2ずれた固有の角運動量をもつ可能性はないということです。
スピンが、整数から1/2ずれているので、この新粒子はボソンであると断定しています。

 しかし、ヒッグス粒子を作る源のヒッグス場が0でないスピンを持っていると、真空が角運動量を持ってしまうということになってしまいます。
新粒子がボソンであることは2つの光子への崩壊からわかりましたが、スピンが0なのかはまだ確定できていません。
そのため今回の新粒子は、今のところ「ヒッグスらしき粒子」とされています。

 とりあえず、「ヒッグス粒子」はスピン0の粒子であると仮定して、現在の素粒子物理学においては、いまだ未発見の重力子(スピン=2)やグラヴィティーノ(スピン=3/2)が仮説上の素粒子として提唱されています。

 重力子とグラヴィティーノについて「Wikipedia」より掲載しておきます。

 重力子(グラビトン)
重力子(Graviton)は、素粒子物理学における四つの力のうちの重力相互作用を伝達する役目を担わせるために導入される仮説上の素粒子。2011年までのところ未発見である。
アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論より導かれる重力波を媒介する粒子として提唱されたものである。
スピン2、質量0、電荷0、寿命無限大のボース粒子であると予想され、力を媒介するゲージ粒子である。
 グラヴィティーノ(重力微子)
超対称性がある場合、重力子に対応する超対称性パートナーとしての超対称性粒子は、スピン3/2のフェルミ粒子であるグラヴィティーノ(Gravitino)であるが、こちらも2012年1月までのところ未発見である。


 ボソンとフェルミオンがスピンと関係しているとするなら、我々の認識している宇宙が素粒子で構成されている以上、宇宙の仕組みについて考察するのが当然の理であるはずです。
そこで、メビウスの帯を発展させて、紙で作ってみることにしました。
以下に、私が感じたことを書き込みます。

 宇宙とはどのような仕組みになっているのかを、視覚的に捉えるために紙を使って考えてみます。
この発想の原点は、現代物理学が説いている様なビッグバンを中心とした宇宙構造とは異なっています。
ここでは、宇宙構造が双対的な宇宙であり、我々の宇宙からは認識不可能な鏡面対称の宇宙が存在するであろうという事を前提としています。
その為に、2個のドーナツの環をお互いの穴と直行させて配置した空間を考察することで、双対的な宇宙構造を認識して戴くことを願っています。
実際には、3次元的に表そうとすると、3次元空間であるドーナツのスピンについての発想が湧きませんので、2次元平面のリボンを閉じたリングを作成することで感覚的に認識して戴くことになります。

リングの作成

2個の同じ形のリングを直行するように交差させた時にできる図形について考察します。
0回転はスピン0、1/2回転(180°)はスピン1/2、1回転(360°)はスピン1、3/2回転(540°)はスピン3/2、2回転(720°)はスピン2とします。

特に、リングを1/2回転させたメビウスの帯と1回転させたリングについての簡単な実験が中心になります。
用意するものは、紙とマジック2色、それにハサミとホッチキスあるいはテープを用意してください。
スピンと宇宙の関係が何となく実感できるような気になります。

まず最初に細長い紙を2枚用意し、1枚目の紙に真ん中で切断しても良いように上部と下部に同じ色の線を引き、2枚目の紙も別の色を使って線を引きます。

スピン0の作成実験です。
2枚の紙でお互いが交差するようにリングを作っても2枚のリングが直角に交差するだけで、この2枚のそれぞれを真ん中で切断しても、何の変化も無いような4つのリングになるだけです。

スピン1/2の作成実験です。
今度は、この紙に1/2回転のスピンを加えて前回と同じように2枚の紙を交差させた後に、線を書き加えた側が外側になるようにリングを作りその後、右手で時計回りに半回転して、ホッチキスかテープで繋げ、同様にもう一方の紙も今度は反時計回りに繋げます。
なぜスピンを反対にしたかは、この2枚のメビウスの帯は同じ様に見えますが、実はそれぞれが+1/2・-1/2のスピンをもったメビウスの帯になっているのです。
そしてそれぞれのメビウスの帯を中心から切った後の1つのリングは、それぞれがスピン+2・-2のリングにもなっているのです。

スピン1の作成実験です。
この場合もスピン0の時と同じように、切断した後も4つのリングが出来るだけなのです。
しかし、実際にはスピン+1と-1のリングですから切断した後は+1が2個-1が2個の分裂したことになります。

スピン3/2の作成実験です。
この場合は、表現が非常に難しくて、三葉結び目(結び目解消数1でスピン±3)2個がぐちゃぐちゃになったいる状態でした。
念のため、「三葉結び目」について後の文章に書き加えておきます。


 ## 数学的な性質 ##
数学的には、メビウスの帯は連結・コンパクトで向き付け不可能な種数1・境界成分数1の2次元多様体(曲面)であるといえる。
向き付け不可能とは表と裏の区別をつけることができないということである(単側性ともいう)。
例えばメビウスの帯のある部分に(裏側にもインクがにじむように、あるいは帯が透明な素材でできていると考えて)「あ」という文字を書き、それを帯に沿って1周させて元の位置に戻すと、文字が反転して鏡像になってしまう。
一般に曲面が向き付け不可能であることは、その曲面にメビウスの帯が含まれていることと同値となる。
メビウスの帯は境界(近傍がユークリッド半平面と同相な点の集合のことで、帯の端の部分)を持っているが、その個数は1つであり、2つの境界成分を持つひねりの無い通常の帯(アニュラス)とは異なる。

通常のメビウスの帯は半回転のひねりを1回だけ入れたものを考えるが、1回に限らず奇数回の半ひねりを入れた帯はすべて同相である(ただしひねりの回数が異なれば3次元空間での連続的な変形だけで移りあうことは無い)。
半回転のひねりの入れ方にも時計周りと反時計回りがあるので、回数が同じでも左手系と右手系の2つがあることになる。
メビウスの帯は通常の帯とは同相にならない。

メビウスの帯は、帯の幅を狭める写像を使えばそのセンターラインとホモトピー同値になる。
ホモトピー同値であれば基本群が同型になるが、センターラインは前述のように円周になっているので、メビウスの帯の基本群は円周の基本群と同じ無限巡回群となる。
よってメビウスの帯は単連結でない。
また、メビウスの帯は前述のように1つの境界成分を持っているが、その境界成分に円板を貼り合わせると実射影平面(向きつけ不可能で種数1・境界成分数0の曲面)となる。
逆に言えば、メビウスの帯は実射影平面から開円板を取り除いて得られる曲面ということになる。
そのためある曲面と実射影平面の連結和をとることを「メビウスの帯を貼り付ける」と表現することがある。
 
 帯の貼り合わせ
長方形からメビウスの帯をつくる
実際にメビウスの帯をつくるときは長方形の短い端同士を180°ひねって貼りあわせればよいが、これは数学的には2つの辺を同一視して得られる商空間を考えていることになる。
 メビウスの帯の切断
実際にメビウスの帯をつくってはさみで平行に切断すると以下のような性質を持っていることがわかる。
180°ひねってつくったメビウスの帯をセンターラインで切断すると、輪は2つに分かれずに大きな1つの輪になる。
この輪は720°ひねられた状態で表裏が分かれており、つまりメビウスの帯ではない。
540°ひねってつくられたメビウスの帯をセンターラインに沿って切ると、三葉結び目状の帯が1本できる

 ## 三葉結び目について ##
Trefoil_knot_arb.jpg

三葉結び目(さんようむすびめ/みつばむすびめ)またはクローバー結び目とは、位相幾何学の一分野である結び目理論において、自明でない最も単純な結び目である。
ロープワークでいうところの止め結びに相当する。
三葉結び目の性質
両手型結び目ではない。つまり、鏡像と等しくない。そのため正確には三葉結び目には右手型と左手型の2種類が存在する。
可逆である。つまり、正逆どちらの向きをつけても等しい。
素な結び目である。つまり、自明でない結び目同士の合成によって得ることはできない。
交代結び目である。つまり交代射影図を持つ。
最小交点数(射影図の交点の数の最小値)は3である。交点数が3の結び目は三葉結び目以外には存在しない。
結び目解消数(結び目を解くために最低限必要な交差交換の回数)は1である。
組み紐指数は2である。
2本橋結び目である。つまり、橋指数(射影図の最長上道の本数の最小値)は2である。
棒指数(折れ線状結び目として表現するのに最低限必要な辺の数)は6である。
結び目の種数(その結び目のザイフェルト曲面の最小種数)は1である。
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結び目の計量

次の様な結び目だけの計量を考えました。
不変量では無いかもしれませんが役に立つ様です。
結び目で交点を一つ上下交換しても必ず結び目になります。
この方法だけで計量する事を考えました。
正の三葉結び目ならば、交換すると解けて0になります。
この流れの路は3点あるので、この計量は3pとします。
同様に負の三葉結び目なら、3mですので、正負の判別は明解です。
交点数4の八の字結び目なら、2p+2mです。
素な正の5交点の1番目の結び目なら、どの点も交換すると
正の三葉結び目になるので5p・3pとします。
素な6交点の3番目の結び目なら、2つの正の交点を交換すると
負の3葉結び目になり、他の1つの正の交点では解けて0になります。
それで2p・3m+pとします。残りの負の交点でも同様に
2m・3p+mとなります。併せて、12pm+p+mとすると、
pとmの対称式になり、この結び目がもろて型であることが明示できました。
また最小交点数が奇数交点の結び目では必ずもろて型でない結び目である事が
この方式で明示できます。
カウフマン多項式では9交点の42番目の素な結び目などが
もろて型で無いと分類できませんが、pm方式では分類できます。
ジョーンズ多項式では11交点のミュータントな結び目が分類できませんが、
この方法なら分類できると思いますが、如何でしょうか。
どうぞ御教え下さい。
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